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Partícula en una caja. Cuantización de la Energía

Para comenzar vamos a estudiar el sistema de una partícula en una caja de paredes impenetrables. Para simplificar las cosas vamos a estudiar el sistema en una dimensión.

Para representar la caja podemos suponer que en las paredes existe un potencial infinito que no permite que la partícula escape y que dentro de la misma la partícula puede moverse libremente. Podemos suponer que la caja esta situada de manera que el potencial V(x) esta dado por

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figure55

Condiciones de Frontera

La función de ondas debe ser continua en todos los puntos, y como la partícula no puede penetrar del otro lado de la caja

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entonces

displaymath147

en las paredes de la caja.

Tambien necesitamos que la primera derivada de la función de ondas sea continua en la frontera.

La ecuación de Schrödinger dentro de la caja es la ecuación para una partícula libre:

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cuyas soluciones estan dadas por

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displaymath153

Podemos comprobar directamente estas soluciones por sustitución en la ecuación de Schrödinger.

La solución general es pues una superposición de ambas soluciones.

displaymath155

La condición de frontera tex2html_wrap_inline157 implica inmediatamente que B=0, pues tex2html_wrap_inline161 . Por otra parte tex2html_wrap_inline163 siempre, pero la condición

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implica que

displaymath167

Esta condición solo se satisface para ciertos valores discretos de la Energía tales que

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Si despejamos la energía encontramos que los valores posibles son

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Wed Jul 30 16:46:46 CDT 1997